###正交
$x^Ty = 0$
也就是内积等于0, 几何意义就是垂直
正交矩阵
$A^TA = E$
就是每一行自己的内积和是1，它和别的行的内积是0
性质
- 若$A$是正交的，则$|A| = 1$
- 如果 $A,B$都是正交的，则$AB$也是正交的
正交变换
$P 是正交矩阵$, 则$y = Px$是正交变换
性质
正交变换后线段长度不变
$||y|| = \sqrt{y^Ty} = \sqrt{x^TP^TPx} = ||x||$
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特征值
$Ax=\lambda x$,$\lambda$是特征值，$x$是特征根
性质
- 特征值的和是对角线的数字的和
- 特征值的积是行列式的值
证明的话，
先看特征值表达式咯，特征值的和是$\lambda ^{n-1}$的系数，特征值的积是$\lambda^0$的系数。
然后看那个矩阵，====》 $\lambda= 0$的时候是$\lambda^0$的系数。
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相似矩阵
相似变换
$P^{-1}AP=B$, 则$A$ 与 $B$ 相似, 简单记忆，$P^{-1}和P$消掉了，所以$A$~$B$
性质
$A$与$B$相似，则它们的特征多项式相同，从而特征值相同
证明，
$P^{-1}AP=B$,
则$|B-\lambda E|$ = $|P^{-1}AP - \lambda E|$ = $|P^{-1}AP - \lambda P^{-1}P|$ = $|P^{-1}(A - \lambda E) P|$ = $|A - \lambda E|$
A的多项式
关于$A$的多项式
$\phi(A) = P\phi(B)P^{-1}$
大概意思就是，如果$A$和$B$相似，那么求$A$的话就可以转换成求 $B$,然后再加个外壳
特征多项式
$f(\lambda) = 0$ 则 $f(A) = O$
因为A与它自己的特征对角阵相似，但是特征对角阵为0，所以。。。
n阶矩阵与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
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对角阵的特征值为实数
$\lambda_1, \lambda_2$是对称阵A的两个特征值, $p_1,p_2$ 是对应的特征向量，若 $\lambda_1 \neq \lambda_2$, 则$p_1$和$p_2$正交
对称矩阵一定与 特征对角阵 相似
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二次型
X1,x2的所有二次线性组合
二次型的标准形
X1 = y1…..yn
x2 = y1…..yn
===> $f = k_1y_1^2 + k_2y_2^2 + … + k_ny_n^2$
二次型的规范形
$k_i$的取值在{-1,0,1}里面
实二次型
$a_{ij}$是实数
二次型
$f=x^TAx$，其中A是对称矩阵
二次型的秩
就是二次型里面对称矩阵的秩
$x = Cy$
$f=x^TAx = (Cy)^TA(Cy) = (y^TC^T)A(Cy) = y^T(C^TAC)y$
合同
$B=C^TAC$, 并且$C$可逆，则$A$与$B$合同
所以x 经过可逆变化后, $x=Cy$ ，二次型变成了C的合同矩阵，$C^TAC$，
同时保持了秩不变。
如果想变成标准型，则把对称阵A通过$C^TAC$变成对角阵
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多个二次型的项数是一样的，因为它们的秩是一样的
正定
$f(x) = x^TAx$ f(x)>0(x=/=0)恒成立, 则称对称阵A是正定的
